Cálculo de ganho e o problema com dB

Motivação e advertência inicial

O decibel é, provavelmente, a medida mais mal entendida que existe. Existem vários tipos de decibéis em uso e, talvez, um número ainda maior de confusas tentativas de explicá-los.
Outra coisa que precisa ser enfatizada é que, enquanto que podemos materializar a unidade 1 Kg, a unidade 1 metro, etc não podemos materializar 1 decibel. A razão? O decibel é uma ordem de grandeza. Com efeito: em muitas áreas da tecnologia precisamos comparar duas instâncias de uma mesma grandeza ( como por exemplo: uma potência na entrada e na saída de um sistema de áudio, a voltagem na entrada e na saída de uma antena de microondas , etc ). Precisamos calcular quanto a saída S ( ou output ) é maior ou menor do que a entrada E ( input ).
Obviamente, a primeira coisa a pensar seria usar a razão S / E para expressarmos esse ganho ( = aumento ) ou atenuação ( = diminuição ) . Contudo, é muito comum -- em áreas tecnológicas como Eletrônica e outras -- que S seja muitíssimo maior ou menor do que E, o que daria a razão acima valores tão grandes ou tão pequenos que ficaria difícil atribuir significado prático e intuitivo para tais valores. A saída para o impasse é bastante natural para quem realmente entendeu o significado do logaritmo. Com efeito, bastará usar como medida da amplificação ( ou seja: o ganho ou atenuação ) a ordem de grandeza da razão S / E , ou seja: usar o log ( S / E ) .
Um último detalhe: na prática bastará ir até a primeira cada decimal dessa ordem de grandeza e para procurar evitar o uso da virgula será conveniente usar no lugar do log ( S / E ) ( que alguns chamam de bell ou bel, em honra a Alexandre G. Bell ) o 10 log ( S / E ) ( o deci - bell )
Vale a pena resumir:

O decibel comum

a amplificação de um sistema que tem entrada E e saída S é dada ( em decibéis, ou dB ) por: amplificação = 10 log ( S / E )

Entende-se, acima, que a entrada e a saída são grandezas de mesmo tipo ( por exemplo duas potências, ou duas voltagens, ou etc ) e expressas na mesma unidade de medida ( por exemplo: ambas em watts, ou ambas em volts, etc ).

Exemplo

Ao girarmos o controle de volume de um toca-discos, o output aumentou de 0.5 w para 10 w. Qual o ganho em dB ? Interprete.

Solução: ganho = 10 log ( 10 / 0.5 ) = 13 dB, ou seja a nova saída = 10^1.3 = 20 vezes maior do que a inicial.

(...)

Exemplo

No sistema eletrônico abaixo, temos: perda do microfone = -3.5 dB, ganho do pre-amplificador = 12.5 dB, perda do cabo = -6.5 dB e ganho do ( amplificador + alto-falante ) = 37.5 dB:
 

Mic → Pré Amp → Cabo coaxial → Power Amp → Speakers

 Calcular a amplificação total do sistema.

Resposta: explique o que tem a ver o cálculo abaixo com a propriedade do log de transformar produtos em somas:

amplificação total = -3.5 + 12.5 - 6.5 + 37.5 = 40 dB

Retirado do curso de matemática da UFRGS (http://www.mat.ufrgs.br/), aula sobre logarítmos.